Opis
Każde słowo – podobnie jak imię – niesie w sobie różną treść, budzi różne skojarzenia zależne od doświadczeń tego, kogo spotyka. I tak, słowo analiza znaczy dla każdego matematyka coś innego. Dla jednych obejmuje ono niewiele więcej niż rachunek różniczkowy i całkowy, dla innych kojarzy się z twierdzeniem Riemanna–Rocha czy formami harmonicznymi. Jest to jedyny podręcznik, który wychodząc od zera – dokładniej mówiąc od liczb wymiernych – dochodzi do teorii dystrybucji, całek prostych, analizy na rozmaitościach zespolonych, przestrzeni Kählera, teorii snopów i wiązek wektorowych itd. Celem moim było pokazanie młodemu człowiekowi piękna i bogactwa tego niezwykłego świata, jakim jest współczesna analiza matematyczna. (z Przedmowy) Książka jest wznowieniem drugiego zmienionego wydania drugiej części trylogii prof. Krzysztofa Maurina Analiza, które ukazało się nakładem PWN w 1991 roku jako tom 70 Biblioteki Matematycznej. W części II centralnym pojęciem jest tu całka. Autor opowiada historię narodzin podstawowych pojęć i struktur matematyki współczesnej, pokazuje ich powiązanie z fizyką i filozofią, kładąc duży nacisk na rolę tradycji w matematyce. Liczne komentarze sprawiają, że czytelnik może dostrzec związki, które łączą na pozór odległe działy matematyki. Spis treściRozdział XII. Ogólne struktury matematyki 17 § 1. Przestrzenie topologiczne 21 § 2. Bazy otoczeń. Aksjomaty przeliczalności 24 § 3. Filtry 27 § 4. Przestrzenie zwarte 33 § 5. Iloczyn kartezjański (produkt) przestrzeni topologicznych 36 § 6. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie Baire'a 39 § 7. Topologiczny produkt przestrzeni metrycznych 43 § 8. Funkcje półciągłe 44 § 9. Przestrzenie regularne 47 § 10. przestrzenie jednostajne. Zupełność przestrzeni 49 § 11. Przestrzenie jednostajne prezwarte i zwarte 57 § 12. Struktury jednostajne na przestrzeniach odwzorowań 59 § 13. Rodziny odwzorowań jednakowo ciągłych. Oólne twierdzenie Ascolego 60 § 14. Interludium 64 § 15. Struktury różniczkowalne. Przestrzenie styczne. Pola wektorowe 66 § 16. Granice rzutowe (odwrotne) przestrzeni topologicznych 76 § 17. Granice induktywne. Presnopy. Nakrycie wyznaczone przez presnop 78 § 18. Algebry. Algebry grupowe, tensorowe, Clifforda, Grassmanna i Liego. Twierdzenia Botta-Milnora, Wedderburna, Hurwitza 86 § 19. Ciała i ich rozszerzenia 97 § 20. Teoria Galois. Grupy rozwiązalne 106 § 21. Konstrukcje za pomocą linijki i cyrkla. Ciała cyklotomiczne. Twierdzenie Kroneckera-Weber 112 § 22. Elementy algebraiczne i przestępne (trescendentne) 115 § 23. Zasada Weyla 116 § 24. Riemanna teorii funkcji algebraicznych 118 § 25. Lokalny opis odwzorowania holomorficznego ¦: M › N. Indeks rozgałęzienia. Twierdzenie Hurwitza-Riemanna 126 § 26. Waluacje ciała ? (X) funkcji meromorficznych na zwartej powierzchni X (twierdzenie Dedekinda-Webera) 129 § 27. Dalsze perspektywy teorii Riemanna 131 § 28. Różniczkowanie współzmiennicze. Przesunięcie równoległe. Koneksje 134 § 29. Refleksja nad złożoną strukturą matematyczną prostych pojęć fizyki na przykładzie mechaniki analicznej 143 § 30. Wiązka styczna TM. Wiązki: wektorowe, włókniste, tensorowe i gęstości tensorowych, stowarzyszone 146 § 31. G-przestrzenie. Reprezenacje grup 154 § 32. Wiązki główne i stowarzyszone 157 § 33. Reprezentacje indukowane a wiązki stowarzyszone 162 § 34. Cofnięcie wiązki włóknistej. Grupa Picarda 164 § 35. Wiązki wektorowe a snopy lokalnie swobodne 167 § 36. Koneksje w wiązkach głównych. Forma koneksji 168 § 37. Przeniesienia równoległe w G-wiązce głównej 171 § 38. Koneksja indukowana w wiązce stowarzyszonej z wiązką główną 173 § 39. Aksjomat o nakrywaniu homotopii 174 § 40. Rozwłóknienia Serre'a. Ogólna teoria koneksji. Wnioski 176 § 41. Funkcja wykładnicza 181 § 42. Geodetyki i odwzorowania wykładnicze koneksji liniowej 182 § 43. Wiązki Riemanna (Riemanna-Hilberta). Koneksje Riemanna i Leviego-Civity. Lemat Ricciego 184 § 44. Rozmaitość Riemanna jako przestrzeń metryczna. Twierdzenie Hopfa-Rinowa 188 § 45. Krzywizna a topologia - od Gaussa do von Dycka 195 § 46. Formy różniczkowe o wartościach w wiązce wektorowej 199 § 47. Zewnętrzna różniczka kowariancyjna dN, a krzywizna KN koneksji 201 § 48. Krzywizny Gaussa i sekcyjna. Przestrzenie o stałek krzywiźnie. Twierdzenie F. Schura 203 § 49. Koneksje w grupach Liego. Forma Killinga. Algebry i grupy półproste. Pola Killinga 207 § 50. Przestrzenie symetryczne. Przykłady 210 § 51. Homologia. Kohomologia. Kohomologia de Rhama 212 § 52. kohomologia snopów. Abstrakcyjne twierdzenie de Rhama 215 § 53. Charakterystyka Eulera (Eulera-Poincarégo) snopa. Twierdzenie Riemanna-Rocha 219 § 54. holomorficzne wiązki prostych i dywizory. Twierdzenie o rozszczepieniu 222 § 55. Grupy homotopii pk (X, x0). Rozwłóknienie Hopfa. Twierdzenie Serre'a o ciągu dokładnym grup homotopii rozwłóknienia 226 § 56. Topologia grup liniowych GL (N, C). Twierdzenie Botta o periodyczności. Twierdzenie Poincarégo, twierdzenie Hurewicza 229 § 57. Uniwersalne główne G-związki. Twierdzenie klasyfikujące.