Opis
Współczesna analiza matematyczna to przedmiot trudny i zbyt obszerny, by można go było wyłożyć studentom bez odwoływania się do podręcznika. [...] W polskiej literaturze matematycznej brakuje podręcznika do analizy dostosowanego do programu studiów matematyczno-fizycznych wyższych uczelni technicznych. Niniejsza książka stanowi próbę wypełnienia tej luki. (Z „Przedmowy” do pierwszego wydania) Po latach wznawiamy podręcznik analizy matematycznej napisany przez wieloletniego wykładowcę Politechniki Warszawskiej z myślą o studentach wyższych szkół technicznych. W książce w sposób niezwykle przystępny zostały zaprezentowane zagadnienia omawiane na wykładach matematyki na pierwszym i drugim roku studiów: - podstawowe pojęcia i twierdzenia topologii oraz analizy funkcjonalnej, - rachunek różniczkowy, - równania różniczkowe zwyczajne, - teoria miary i całki, - funkcje zmiennej zespolonej i analiza harmoniczna. Na końcu paragrafów są zamieszczone ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Z podręcznika mogą także skorzystać studenci kierunków ścisłych na uniwersytetach i uczelniach pedagogicznych. Spis treściWstęp 13 § 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje równoważności. Podział na klasy 15 5. Funkcje 16 6. Zbiory przeliczalne 20 § 2. Liczby rzeczywiste 22 1. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało 22 2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości 23 3. Przedziały. Wartość bezwzględna 25 4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości 25 5. Funkcje o wartościach rzeczywistych 27 § 3. Liczby zespolone 28 1. Ciało C liczb zespolonych 28 2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby 29 3. Funkcje o wartościach zespolonych 30 Rozdział I. Elementy topologii 31 § 4. Przestrzenie metryczne 31 1. Definicja 31 2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone 31 3. Granica ciągu punktów 32 § 5. Granica ciągu liczbowego 34 1. Własności granicy ciągu liczbowego 34 2. Granica ciągu liczb rzeczywistych 36 3. Przykłady 39 4. Liczba e 41 § 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R 43 1. Definicje 43 2. Granice ekstremalne ciągu 44 3. Granica ciągu 46 4. Funkcje o wartościach w R 48 § 7. Przestrzenie metryczne zupełne 49 1. Definicja. Zupełność przestrzeni R 49 2. Twierdzenie o punkcie stałym 50 § 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych 52 1. Metryka i zbieżność w produkcie 52 2. Produkt przestrzeni zupełnych 54 § 9. Granica funkcji 55 1. Granica funkcji w punkcie 55 2. Granica funkcji o wartościach liczbowych 56 3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych 57 4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej 58 5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 59 6. Przykłady 60 § 10. Funkcje ciągłe 63 1. Definicja i podstawowe twierdzenia 63 2. Przykłady 65 § 11. Ciągi fukcyjne 68 1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna 68 2. Własność granicy ciągu zbieżnego jednostajnie 69 § 12. Przestrzenie topologiczne 71 1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru 71 2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru 73 3. Topologia w przestrzeni metrycznej 74 § 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej 77 1. Topologia indukowana 77 2. Przypadek przestrzeni metrycznej 78 § 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych 79 1. Topologia w produkcie 79 2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych 79 § 15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych 80 1. Definicja 80 2. Homeomorfizmy 81 § 16. Przestrzenie ośrodkowe 82 1. Definicja 82 2. Przypadek przestrzeni metrycznej 83 3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych 84 § 17. Przestrzenie zwarte 85 1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej 85 2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych 87 3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych 88 4. Przestrzeń C(X; Y) 90 § 18. Przestrzenie spójne 91 1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R 91 2. Kryteria spójności 92 3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna 93 Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej 96 § 19. Przestrzenie unormowane 96 1. Przestrzenie liniowe 96 2. Przykłady 98 3. Podstawowe pojęcia geometryczne 98 4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 99 5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych 101 6. Wektory statystyczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna 102 7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej 103 8. Przestrzeń unormowana C(X; Y) 104 § 20. Przestrzenie unitarne 105 1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 105 2. Ortogonalność. rzut ortogonalny 107 3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe 108 § 21. Funkcje liniowe 110 1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe 110 2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L(X; Y) jako przestrzeń unormowana 111 3. Przykłady 113 § 22. Funkcje wieloliniowe 115 1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągłe 115 2. Przestrzeń L(X1,...,Xk; Y) 116 3. Przykłady 116 § 23. Szeregi 119 1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności 119 2. Przykłady 121 3. Szeregi zbieżne bezwzględnie 123 4. S