Opis
Ekonomia matematyczna zajmuje się badaniem zjawisk gospodarczych przy użyciu zaawansowanych technik matematycznych, takich jak analiza szeregów czasowych czy programowanie dynamiczne. Opracowanie zawiera m.in. tematykę niepodejmowaną w innych publikacjach z dziedziny: uogólnienia wypukłości oraz ich zastosowanie w problematyce ekonomicznej, pojęcie funkcji dyskretnych, równania i układy równań różnicowych, coraz szerzej stosowane we wszystkich naukach, w tym naukach ekonomicznych. W podręczniku, oprócz treści teoretycznych, znajdują się również zadania z przykładowymi rozwiązaniami oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Podręcznik przydatny dla studentów oraz wykładowców kierunków matematycznych i ekonomicznych. Polecany zwłaszcza dla studentów specjalności: matematyka finansowa i ubezpieczeniowa, matematyka ekonomiczna oraz specjalności zastosowania matematyki. Spis treściWstęp XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta 4 2.1. Zbiory. Relacje 4 2.2. Relacja preferencji 7 2.3. Zbior budżetowy 13 2.4. Przykłady dwuargumentowych preferencji 16 2.5. Zadania 19 3. Liczby zespolone 25 3.1. Definicje i podstawowe własności 25 3.2. Postać algebraiczna (kartezjańska) liczby zespolonej 26 3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 28 3.4. Postać wykładnicza liczby zespolonej 32 3.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 33 3.6. Wielomiany zespolone 36 3.7. Zadania 38 4. Macierze. Wyznaczniki macierzy 42 4.1. Macierze, działania na macierzach 42 4.2. Wyznacznik macierzy kwadratowej 46 4.3. Macierz odwrotna 50 4.3.1. Liniowa niezależność wektorow 51 4.4. Rząd macierzy 52 4.5. Potęga i eksponens macierzy. Metoda Jordana 54 4.5.1. Wartości i wektory własne macierzy 55 4.5.2. Diagonalizacja macierzy 56 4.5.3. Potęgowanie, eksponens macierzy 57 4.6. Zadania 61 5. Układy rownań liniowych 67 5.1. Pojęcia podstawowe 67 5.2. Układ Cramera 68 5.3. Rozwiązanie dowolnego układu liniowego 70 5.4. Metoda badania rzędów macierzy 74 5.5. Układy jednorodne 76 5.6. Zadania 77 6. Modele równowagi rynkowej 83 6.1. Częściowa równowaga rynkowa 84 6.1.1. Liniowy model rynku, przypadek jednego towaru 84 6.1.2. Model nieliniowy, przypadek jednego towaru 86 6.2. Ogólna równowaga rynkowa 86 6.2.1. Model rynku dwóch towarów 87 6.2.2. Model rynku n towarów 87 6.3. Model input-output (nakładów i wyników). Model Leontiefa 88 6.3.1. Równania bilansowe międzygałęziowej produkcji globalnej 89 6.3.2. Równania bilansowe kosztów 91 6.3.3. Współczynniki efektywności procesu gospodarczego 94 6.3.4. Macierz struktury kosztów 95 6.3.5. Model zamknięty 98 6.4. Zastosowania 100 6.4.1. Wyznaczenie poziomu produkcji. Opłacalność produkcji. Nakład pierwotny 100 6.4.2. Wyznaczenie produktu końcowego 100 6.4.3. Wzrost produktu końcowego 101 6.4.4. Wzrost poziomu produkcji 101 6.4.5. Określenie wielkości nakładów pracy 102 6.4.6. Analiza nakładów i wyników w przedsiębiorstwie 103 6.4.7. Określenie poziomu produkcji firmy 104 6.4.8. Zapotrzebowanie produkcyjne na materiały i energię 105 6.4.9. Plan wykorzystania maszyn i urządzeń 106 6.4.10. Określenie zatrudnienia 106 6.5. Zadania 107 7. Funkcje jednej zmiennej 113 7.1. Granica funkcji jednej zmiennej 113 7.1.1. Asymptoty funkcji 117 7.1.2. Ciągłość funkcji 119 7.1.3. Pochodna funkcji 122 7.2. Zastosowania pochodnych. Reguła de l’Hospitala 126 7.3. Monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne funkcji 127 7.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. Badanie przebiegu funkcji 131 7.5. Ekonomiczne charakterystyki funkcji jednej zmiennej 134 7.5.1. Wielkości przeciętne, krańcowe funkcji 134 7.5.2. Wartość jednostkowa funkcji 136 7.5.3. Elastyczność funkcji 138 7.5.4. Tempo wzrostu funkcji 141 7.6. Zadania 142 8. Rachunek całkowy 148 8.1. Całka nieoznaczona 148 8.1.1. Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych 149 8.1.2. Metoda całkowania przez części i przez podstawienie 150 8.1.3. Całki funkcji wymiernych 151 8.1.4. Całki funkcji trygonometrycznych 155 8.1.5. Całki wybranych funkcji niewymiernych 157 8.2. Całka oznaczona 158 8.3. Całka niewłaściwa 161 8.4. Zastosowania w ekonomii 163 8.5. Zadania 169 9. Funkcje wielu zmiennych 174 9.1. Pojęcia wstępne 174 9.2. Granica funkcji w punkcie 176 9.2.1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 177 9.2.2. Gradient. Pochodna kierunkowa 179 9.2.3. Różniczka funkcji 181 9.2.4. Ekstrema lokalne funkcji 182 9.2.5. Ekstremum warunkowe funkcji 185 9.2.6. Ekstremum globalne funkcji wielu zmiennych 186 9.3. Funkcje uwikłane 187 9.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji wielu zmiennych 189 9.4.1. Prosty model wymiany. Prostokąt Edgewortha 194 9.5. Zadania 197 10. Funkcje wypukłe, wklęsłe, quasi-wypukłe i quasi-wklęsłe 202 10.1. Funkcje wypukłe i funkcje wklęsłe 202 10.2. Funkcje quasi-wypukłe oraz quasi-wklęsłe 209 10.3. Zadania 216 11. Funkcje dyskretne 219 11.1. Pojęcia podstawowe 219 11.2. Rachunek różnicowy 219 11.3. Operator antyróżnicowy 223 11.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji dyskretnych 228 11.5. Zadania