Opis
Piąte już wydanie skryptu zawiera czternaście obszernych rozdziałów. Zakres tematyczny podręcznika obejmuje elementy teorii mnogości, liczby zespolone, algebrę liniową, rachunek macierzowy, układy równań liniowych, formy liniowe, dwuliniowe, kwadratowe, wektory własne i wartości własne macierzy, podstawy analizy matematycznej w zakresie funkcji jednej zmiennej, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, szeregi, rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych, rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych oraz równania różniczkowe zwyczajne. Spis treściZamiast wstępu 11 1. Elementy teorii mnogości 13 1.1. Algebra zbiorów 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie 15 1.2.1.?Potęgi kartezjańskie 16 1.2.2. Relacje 17 1.2.3. Dwa szczególne typy relacji 18 1.3. Zbiór liczb rzeczywistych 19 2. Liczby zespolone 23 2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych 23 2.2. Postać trygonometryczna liczb zespolonych 26 3. Algebra liniowa 30 3.1. Przestrzenie liniowe 30 3.1.1.?Przykłady przestrzeni liniowych 33 3.1.2.?Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 34 3.1.3.?Przekształcenia liniowe (homomorfizmy) 36 3.1.4.?Przestrzenie liniowe generowane 37 3.1.5.?Liniowa zależność i niezależność wektorów w??przestrzeni liniowej 38 3.2. Baza i wymiar przestrzeni liniowych 39 3.2.1.?Układy wektorów rzędu pełnego 41 3.2.2.?Układy wektorów a przekształcenie liniowe 42 3.2.3. Przekształcenia elementarne układów wektorów 42 3.3. Zbiory wypukłe i stożki w przestrzeniach liniowych 43 3.4. Przestrzenie euklidesowe 48 3.4.1. Ortogonalność w przestrzeniach euklidesowych 50 3.4.2. Związek między ortogonalnością a liniową niezależnością 51 3.5. Przestrzenie metryczne 52 3.5.1. Przykłady metryk w przestrzeniach Rn 53 3.5.2. Otoczenia punktów i kule w przestrzeniach metrycznych 54 3.6. Przestrzenie unormowane 55 4. Rachunek macierzowy 58 4.1. Rodzaje macierzy 59 4.2. Działania na macierzach 61 4.2.1. Porównywanie macierzy 61 4.2.2. Transponowanie macierzy 61 4.2.3. Mnożenie macierzy przez liczbę 62 4.2.4. Dodawanie macierzy 62 4.2.5. Mnożenie macierzy 63 4.3. Wyznacznik macierzy 67 4.3.1. Obliczanie wyznaczników macierzy 68 4.3.2. Własności wyznaczników 71 4.4. Macierze odwrotne 72 4.4.1. Własności macierzy odwrotnej 74 4.5. Rząd macierzy 74 4.5.1. Związek pomiędzy wyznacznikiem macierzy kwadratowej a rzędem 75 4.5.2. Obliczanie rzędu macierzy 76 4.6.?Uogólnione macierze odwrotne 78 4.6.1. Własności uogólnionych macierzy odwrotnych 79 5. Układy równań liniowych 81 5.1. Układy równań liniowych i ich rozwiązania 81 5.1.1. Twierdzenie Kroneckera ? Capellego 83 5.2. Jednorodne układy równań liniowych 84 5.3. Metody rozwiązywania układu równań liniowych 85 5.3.1.?Strategie rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych 87 5.3.2. Rodzaje rozwiązań układu równań liniowych 91 5.4. Zastosowania uogólnionych macierzy odwrotnych do rozwiązywania układów równań liniowych 92 6. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe 95 6.1.?Określoność form kwadratowych 98 6.2. Badanie określoności form kwadratowych 100 7. Wektory własne i wartości własne macierzy 103 7.1.?Własności wektorów własnych i wartości własnych 105 8.?Podstawy analizy matematycznej w zakresie funkcji jednej zmiennej 107 8.1. Granice funkcji 107 8.1.1.?Granice jednostronne 110 8.1.2.?Własności granic funkcji jednej zmiennej 111 8.1.3.?Asymptoty wykresów funkcji y?=?f?(x) 112 8.2. Ciągłość funkcji 114 8.2.1.?Własności funkcji ciągłych 115 8.2.2.?Jednostronna ciągłość funkcji 117 9. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 119 9.1. Pochodne funkcji 120 9.1.1.?Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej 121 9.1.2.?Podstawowe wzory rachunku różniczkowego 123 9.1.3. Własności pierwszej pochodnej 124 9.1.4. Pochodne jednostronne 125 9.1.5. Pochodne wyższych rzędów 126 9.2. Różniczki funkcji 127 9.2.1.?Interpretacja geometryczna różniczki rzędu pierwszego 128 9.2.2.?Własności różniczki pierwszego rzędu 129 9.2.3.?Różniczki wyższych rzędów 129 9.3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego 130 9.3.1.?Twierdzenia o własnościach funkcji różniczkowalnych 130 9.3.2.?Reguła de l’Hospitala 132 9.3.3.?Wzór Taylora 133 9.4.?Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania przebiegu zmienności funkcji 136 9.4.1.?Monotoniczność funkcji 136 9.4.2.?Ekstrema funkcji 137 9.4.3.?Wypukłość funkcji 140 9.4.4.?Punkty przegięcia wykresu funkcji 142 9.5. Niektóre charakterystyki zmienności funkcji 144 10. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 146 10.1.?Całka nieoznaczona 146 10.1.1.?Podstawowe wzory rachunku całkowego dotyczące całek nieoznaczonych 148 10.1.2.?Ogólne własności całki nieoznaczonej 149 10.1.3.?Metody całkowania funkcji 150 10.2. Całka oznaczona 151 10.2.1.?Interpretacja geometryczna sumy Riemanna 153 10.2.2.?Interpretacja geometryczna całki oznaczonej 155 10.2.3.?Warunki istnienia całki oznaczonej Riemanna 155 10.2.4.?Związek całki oznaczonej z funkcją pierwotną i?całką nieoznaczoną 157 10.2.5.?Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego dotyczące całki oznaczonej 157 10.3.?Całki