Opis
Podręcznik akademicki będący znacznym rozszerzeniem wykładu prowadzonego od wielu lat dla studentów fizyki i astronomii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Zawiera unowocześniony kurs przeznaczony dla wszystkich, którzy używają tensorów w naukach fizycznych i technicznych. Czytelnicy znający analizę matematycznąj i algebrę liniową w zakresie standardowego kursu politechnicznego znajdą tu szczegółowe wyjaśnienie, czym jest rozmaitość różniczkowa, wektor i tensor oraz dlaczego wektor nie należy do przestrzeni, w której punktach jest zdefiniowany. Dużo uwagi poświęcono tu również zagadnieniom, które w tradycyjnych wykładach rachunku tensorowego są zazwyczaj pomijane: pochodnej Liego i jej związkom z symetriami i prawami zachowania, tensorom względnym i znajdowaniu linii geodezyjnych. Dodatkiem do głównego tekstu są liczne starannie przeliczone przykłady oraz wiele zadań. Ostatni rozdział, zachowując podręcznikowy, dydaktyczny charakter, jest zarazem monografią zastosowań analizy tensorowej do badania krzywizny i symetrii przestrzeni Riemanna oraz czasoprzestrzeni. Podręcznik ten będzie interesujący także dla matematyków, stanowi bowiem etap pośredni między klasyczną geometrią w przestrzeni trójwymiarowej a nowoczesną abstrakcyjną geometrią różniczkową rozmaitości. Spis treściPrzedmowa 9 1. Preliminaria 13 1.1. Przestrzeń i czasoprzestrzeń w matematyce 13 1.2. Wektory na rozmaitości 15 1.3. Tensory 16 1.4. Przestrzenie Rn i En 17 1.4.1. A?niczna przestrzeń euklidesowa En 21 1.5. Odwzorowania przestrzeni Rn 24 1.6. Transformacje współrzędnych 29 1.6.1. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie 33 1.7. Wymiar przestrzeni 35 1.8. Notacja 37 2. Rozmaitości różniczkowe 39 2.1. Wprowadzenie 39 2.2. De?nicja rozmaitości różniczkowej 41 2.2.1. Rozmaitość 49 2.3. Przykłady rozmaitości gładkich 52 2.4. Rozmaitości gładkie w Rn 59 2.5. Rozmaitości indukowane i iloczynowe 65 2.6. Powierzchnie jednostronne. Wstęga Möbiusa i butelka Kleina 67 2.7. Odwzorowania rozmaitości 73 2.8. Krzywe gładkie 80 2.9. Klasy?kacja rozmaitości 84 3. Wektory i tensory 86 3.1. Geometryczny opis wektora 86 3.2. Przestrzeń styczna do En 89 3.3. Liniowa transformacja współrzędnych w En i zmiana bazy w TpEn 91 3.4. Wektor jako operator różniczkowy 93 3.5. Przestrzeń styczna do rozmaitości 95 3.6. Gładkie pola wektorowe 99 3.7. Wektory kowariantne 102 3.8. Pola kowektorów i gradient funkcji 105 3.8.1. Gra?czne przedstawienie kowektora 109 3.9. Tensory 112 3.10. Składowe i bazy tensorów 114 3.11. Pola tensorowe 116 3.12. Działania na tensorach 121 3.13. Komutator pól wektorowych 123 3.14. Tensor metryczny 127 3.15. Operacje na tensorach za pomocą metryki 136 3.16. Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity 139 3.17. Uogólniony symbol Kroneckera 145 3.18. Tensory względne 148 3.19. Rozmaitości dwuwymiarowe 149 3.20. Metryka hiperpowierzchni 151 3.20.1. Sfera Sn 156 3.21. Przestrzenie hiperboliczne 158 3.21.1. Wstęp historyczny 158 3.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego 159 3.21.3. Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego 160 3.21.4. Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej 162 3.21.5. Pseudosfera Beltramiego 163 3.21.6. Przekształcenia modeli 166 3.22. Orientowalność rozmaitości 167 4. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego 171 4.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów 171 4.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów 175 4.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych 176 4.4. Transformacje czynne i bierne 178 4.5. Symetrie i przeniesienie według Liego 179 4.6. Pochodna Liego 182 4.7. Ogólne własności pochodnej Liego 186 4.8. Pochodna Liego tensorów względnych 190 4.9. Symetrie 194 5. Pochodna absolutna i kowariantna 197 5.1. Pochodna absolutna wektora 198 5.2. Pochodna kowariantna wektora 200 5.3. Transformacje koneksji a?nicznej 203 5.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora 205 5.5. Pochodne wyższych rzędów 210 5.6. Pochodne kowariantne tensorów względnych 211 5.7. Przestrzeń z koneksją a?niczną 213 5.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego 214 5.8. Przeniesienie równoległe 216 5.9. Linie geodezyjne 219 5.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji a?nicznej 224 5.9.2. Interpretacja geometryczna skręcenia koneksji 226 5.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzędne riemannowskie 228 5.11. Krzywizna przestrzeni 232 5.12. Tensor krzywizny 233 5.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny 241 5.14. Przestrzenie a?nicznie płaskie 243 5.15. Pochodna Liego koneksji i krzywizny 248 6. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna 253 6.1. Koneksja metryczna i symetryczna 253 6.2. Kowariantne operatory różniczkowe 259 6.3. Tożsamości różniczkowe pierwszego rzędu dla metryki 263 6.4. Różniczkowanie tensorów względnych i pochodna Liego 266 6.5. Geodetyki jako linie najkrótsze 267 6.5.1. Form–inwariantność funkcjonału długości 273 6.5.2. Ekstremum warunkowe 276 6.6. Własności metryczne geodetyk 280 6.7. Przykłady linii geodezyjnych 285 6.8. Współrzędne normalne riemannowskie 295 6.9. Współrzędne normalne geodezyjne Gaussa 303 7. Krzywizna i izometrie